Dans un schéma de Bernoulli de probabilité de succès \(p\), si \(G_{n,k}=\{ {{k\text{ succès et }n-k\text{ échecs parmi les }n\text{ premiers tirages} }}\}\), alors $$P(G_{n,k})=\binom nkp^k(1-p)^{n-k} $$

Jouer avec caractère disjoint et indépendance des événements

$$\begin{align} P(G_{n,k})&=P\left(\underset{\operatorname{Card} I=k}{\bigcup_{I\subset\{1,\ldots,n\}}}\underbrace{\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cap \left(\bigcap_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus I}A_i^C\right)}_{\text{2 à 2 disjoints pour }I\ne I^\prime}\right)\\ &=\underset{\operatorname{Card} I=k}{\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\}}}P\underbrace{\left(\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\cap\left(\bigcap_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus I}A_i^C\right)\right)}_{\text{les }A_i\text{ et }A_i^C\text{ sont indépendants}}\\ &=\underset{\operatorname{Card} I=k}{\sum_{I\subset\{1,\ldots,n\}}}\underbrace{\prod_{i\in I}P(A_i)}_{=p^k}\times\underbrace{\prod_{i\in\{1,\ldots,n\}\setminus I} P(A_i^C)}_{=(1-p)^{n-k}}\\ &=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\end{align}$$

Montrer que dans un schéma de Bernoulli de probabilité de succès \(p\), si \(G=\{\text{on n}^\prime\text{a toujours que des succès}\}\), alors $$P(G)=\begin{cases}1&&\text{si}\quad p=1\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}$$

Passer par une continuité séquentielle décroissante

On a $$G=\bigcap^{+\infty}_{i=1}A_i=\bigcap^{+\infty}_{n=1}G_{n,n}$$
De plus, \(\forall n\in{\Bbb N}^*, G_{n+1,n+1}\subset G_{n,n}\) et donc par continuité séquentielle décroissante, $$\begin{align} P(G)&=P\left(\bigcap^{+\infty}_{n=1}G_{n,n}\right)\\ &=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } P(G_{n,n})\\ &=\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} } p^n\\ &=\begin{cases}1&&\text{si}\quad p=1\\ 0&&\text{sinon.}&\end{cases}\end{align}$$

On considère \(n\) personnes. Chacune a une probabilité \(p\) de mentir. On donne à la première une information sous la forme "oui ou non"
La première personne transmet l'information à la seconde, qui la transmet à la troisième, etc, jusqu'à la \(n\)-ième qui l'annonce au monde

1. Pour \(1\leqslant k\leqslant n\), on note \(V_k\) l'événement "l'information que reçoit la \(k\)-ième personne est vraie", et on pose \(p_k=P(V_k)\). Calculer \(p_1,p_2\) et montrer que pour \(k\geqslant1\), $$p_{k+1}=p+p_k(1-2p)$$
2. Calculer la probabilité pour que l'information annoncée au monde soit vraie (indication : trouver une constante \(C\) telle que les \(u_k=p_k-C\) forment une suite géométrique)
3. Quelle est la limite de cette probabilité lorsque le nombre \(n\) de personnes tend vers l'infini ? (étudier en fonction de \(p\))

1°
$$\begin{align} P(V_1)&=1\\ P(V_2)&=P(\{\text{le premier ne ment pas}\}=1-p\\ \vdots\\ P(V_{k+1})&=P(V_{k+1}\mid V_k)P(V_k)+P(V_{k+1}\mid V_k^C)P(V_k^C)\\ p_{k+1}&=(1-p)p_k+p(1-p_k)\\ &=p+p_k(1-2p)\end{align}$$

$$\begin{align} u_{k+1}+C&=p+(u_k+C)(1-2p)\\ u_{k+1}&=(1-2p)u_k-C+p+C(1-2p)\end{align}$$

On choisit \(C\) pour que \(-C+p+C(1-2p)\) soit nul : \(C=\frac12\)

Calcul de la suite géométrique
On a donc \(\forall k\in{\Bbb N}^*\), on a donc \(u_{k+1}=(1-2p)u_k\) et donc $$u_n=(1-2p)^{n-1}u_1\quad\text{ avec }\quad u_1=1-C=\frac12$$

Calcul de \(p_n\) et \(p_{n+1}\)
Et donc $$p_n=u_n+\frac12=\frac{(1-2p)^{n-1}+1}2$$ et donc \(P(V_{n+1})=\frac{(1-2p)^n+1}2\)

Étude de la limite (prendre à parti les cas \(p=0\) et \(p=1\))

$$P(V_{n+1})=\frac{(1-2p)^n+1}2{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\begin{cases}1&&\text{si}\quad p=0\\ \frac{(-1)^n-1}2&&\text{si}\quad p=1\\ \frac12&&\text{sinon.}&\end{cases}$$ (car \(0\lt p\lt 1\implies1\gt 1-2p\gt -1\))